\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage[latin2]{inputenc}

\usepackage{verbatim,amsmath,amssymb,amsthm}


\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}


\newtheorem{thm}{Věta}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Důsledek}
\newtheorem{df}[thm]{Definice}
\newtheorem*{ex*}{Příklady}
\newtheorem*{exp*}{Poznámky a příklady}
\newtheorem*{poz*}{Poznámky}

\newtheorem*{exe*}{Příklad}
\newtheorem*{pr*}{Na procvičení}
%\newtheorem{problem}[Theorem]{Problem}
%\newtheorem{Conjecture}{Conjecture}
\newtheorem{rem}[thm]{Poznámka}

\newcommand{\vf}{\varphi}
\newcommand{\PR}{{P\! R}}
\newcommand{\TP}{{T\! P}}
\newcommand{\UPR}{{\cal U}_{\PR}}
\newcommand{\dist}{{\rm dist}\,}
\newcommand{\rd}{{\mathbb R}^d}
\newcommand{\sph}{{{\mathbb S}^{d-1}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathcal N}}
\newcommand{\INt}{{\rm int}\,}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\nor}{{\rm nor}\,}
\newcommand{\supp}{{\rm supp}\,}
\newcommand{\diam}{{\rm diam}\,}
\newcommand{\Nor}{{\rm Nor}\,}
\newcommand{\Tan}{{\rm Tan}\,}
\newcommand{\abs}{{\rm abs}}
\newcommand{\lin}{{\rm lin}\,}
\newcommand{\Ima}{{\rm Im}\,}
\newcommand{\Ker}{{\rm Ker}\,}
\newcommand{\reach}{{\rm reach}\,}
\newcommand{\SOd}{{\rm SO}_d}
\newcommand{\exo}{{\rm exo}}
\newcommand{\cov}{{\rm cov}\,}
\newcommand{\subgr}{{\rm subgr}\,}
\newcommand{\loc}{{\rm loc}\,}
\newcommand{\E}{{\mathbb E}}
\newcommand{\Ha}{{\cal H}}
\newcommand{\bd}{\partial}
\DeclareMathOperator*{\esslim}{ess\,lim}
\newcommand{\spa}{\operatorname{span}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}

\newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}}
%\newcommand{\eps}{r}%{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sL}{\cal{L}}
\newcommand{\sS}{\cal{S}}
\newcommand{\sM}{\cal{M}}
\newcommand{\usS}{\overline{\cal S}}
\newcommand{\usM}{\overline{\cal M}}
\newcommand{\lsS}{\underline{\cal S}}
\newcommand{\lsM}{\underline{\cal M}}
\newcommand{\ldim}{\underline{\dim}}
\newcommand{\udim}{\overline{\dim}}
\newcommand{\var}{{\rm var}}
\newcommand{\ls}{\underline{s}}
\newcommand{\gC}{\widetilde{C}}
\newcommand{\sumn}{\sum_{n=1}^\infty}

\newcommand{\Cc}{\operatorname{Cc}}
\newcommand{\Cv}{\operatorname{Cv}}


\def\qe{\mathbb Q}
\def\en{\mathbb N}
\def\er{\mathbb R}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\C{\mathbb C}
\def\K{\mathcal K}
\def\H{\mathcal H}
\def\P{\mathcal P}
\def\M{\mathbb M}
\def\F{\mathcal F}
\def\ii{\mathfrak i}
\def\D{\mathfrak D}
\def\R{\mathfrak R}
\def\L{\mathcal L}
\def\M{\mathcal M}


\newcommand{\graph}{\operatorname{graph}}
\newcommand{\card}{\operatorname{card}}
\newcommand{\co}{\operatorname{co}}
\newcommand{\conv}{\operatorname{conv}}
\newcommand{\intr}{\operatorname{Int}}
%\newcommand{\ang}{\operatorname{ang}}
\newcommand{\aff}{\operatorname{Aff}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\tn}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\adm}{\operatorname{adm}}
\newcommand{\epi}{\operatorname{epi}}
\newcommand{\hyp}{\operatorname{hyp}}
\newcommand{\arc}{\operatorname{arc}}
\newcommand{\cotan}{\operatorname{cotan}}
\newcommand{\cotanh}{\operatorname{cotanh}}
\newcommand{\arccotan}{\operatorname{arccotan}}
\newcommand{\argtanh}{\operatorname{argtanh}}
\newcommand{\argcotanh}{\operatorname{argcotanh}}
\newcommand{\argsinh}{\operatorname{argsinh}}
\newcommand{\argcosh}{\operatorname{argcosh}}
\newcommand{\ceq}{\stackrel{c}{=}}
\newcommand{\vol}{\operatorname{Vol}}

\newcommand{\intab}{\int_{a}^{b}}

\newcommand{\WDC}{{W\! DC}}
\newcommand{\UWDC}{{\cal U}_{\WDC}}
\newcommand{\UWDCG}{{\cal U}_{\WDC}^{\cal G}}

\newcommand{\llc}{\;\halfsq\;}
\newcommand{\lrc}{\;\ihalfsq\;}

\def\halfsq{\hbox{\kern1pt\vrule height 7pt\vrule width6pt height 0.4pt depth0pt\kern1pt}}
\def\ihalfsq{\hbox{\kern1pt \vrule width6pt height 0.4pt depth0pt
		\vrule height 7pt \kern1pt}}


\newcommand{\cotg}{\operatorname{cotg}}
\newcommand{\tg}{\operatorname{tg}}
\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}
\def\dsp{\displaystyle}

\def\Necht{Nechť }
\def\necht{nechť }
\def\Bud{Buď }
\def\bud{buď }

\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}

%\numberwithin{equation}{section} \numberwithin{thm}{section}

\font\Bbb=msbm10 at 12pt
\begin{document}




\begin{thm}[Euler-Lagrangeova rovnice]
	\Necht $f\in C^2([a,b]\times\er^2)$ a $y$ je stacionárním bodem funkcionálu $F$. Potom je funkce 
	$$
	x\mapsto f_z(x,y(x),y'(x))
	$$
	spojitě diferencovatelná na $[a,b]$ a platí 
	(tzv. \textbf{Euler-Lagrangeova rovnice})
\begin{equation}
	f_y(x,y(x),y'(x))-(f_z(x,y(x),y'(x)))'=0, x\in[a,b].
\end{equation}	
\end{thm}
	
\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item (regularita minimizéru) pokud je $y$ stacionárním bodem $F$ a pro nějaké $\xi\in(a,b)$
		platí 
		$$
		f_{zz}(\xi,y(\xi),y'(\xi))\not=0.
		$$ 
		Potom existuje $\delta>0$, že $y$ je $C^2$ na okolí $\xi$.
		\item (Lagrangeova nutná podmínka)  
		pokud je $y$ bodem minima funkcionálu $F$. Potom
		$$
		f_{zz}(x,y(x),y'(x))\geq 0,\quad x\in[a,b].
		$$
		\item (Legendrova postačující podmínka)
		pokud je $y$ stacionárním bodem funkcionálu $F$ a pokud existují $\alpha,\delta>0$, že
		$$
		d^2\Phi_{h,h}(u)\geq \alpha ||h||^2,\quad h\in X,\; ||h||<\delta,
		$$
		potom $y$ je bodem minima.
		\item (Lagrangeova postačující podmínka) pokud je $y$ stacionárním bodem funkcionálu $F$. Jestliže existuje $\delta>0$, že pro každé $h\in X$, $||h||<\delta$ splňuje funkce $\varphi:t\mapsto F(y+th)$ podmínku
		$$
		\varphi''(t)\geq 0,\quad t\in(0,1).
		$$
		Potom $F$ má v bodě $y$ lokální minimum. 
	\end{enumerate}
\end{exp*}


\begin{thm}[konvexita a extrém]
	Pokud  je zobrazení 
	$(u,v)\mapsto f(x,u,v)$ konvexní pro všechna $x\in[a,b]$ a $y\in M\cap C^2([a,b])$ je stacionárním bodem funkcionálu $F$. Potom má $F$ v bodě $y$ minimum.
\end{thm}


\begin{df}[Jacobiho rovnice a konjugovaný bod]
	\Necht $f\in C^3([a,b]\times\er^2)$ a $y\in M\cap C^2([a,b])$ je stacionárním bodem funkcionálu $F$. Položme
	$$
	P(x)=f_{zz}(x,y(x),y'(x))
	$$
	a
	$$
	Q(x)=f_{yy}(x,y(x),y'(x))-\left(f_{yz}(x,y(x),y'(x))\right)'.
	$$
	Rovnici
	$$
	-(Ph')'+Qh=0
	$$
	nazýváme \textbf{Jacobiho rovnicí}. Bod $x\in(a,b]$ nazveme \textbf{konjugovaným bodem} k bodu $a$, pokud existuje netriviální řešení Jacobiho rovnice $h$, pro které platí $h(a)=h(x)=0$.
\end{df}

\begin{thm}[Jacobiho]
	\Necht $f\in C^3([a,b]\times\er^2)$ a $y\in M\cap C^2([a,b])$ je stacionárním bodem funkcionálu $F$ a platí 
	$$
	f_{zz}(x,y(x),y'(x))>0,\quad x\in[a,b].
	$$
	Potom
	\begin{enumerate}
		\item pokud na $(a,b]$ neexistuje konjugovaný bod k bodu $a$, potom $y$ je bodem lokálního minima funkcionálu $F$ na $M$.
		\item pokud je $y$ bodem lokálního minima funkcionálu $F$ na $M$, potom na $(a,b)$ neexistuje konjugovaný bod k bodu $a$.
	\end{enumerate}
\end{thm}


\end{document}